Algunas demostraciones geométricas de la irracionalidad de ¿2

Abstract

Se presentan varias pruebas visuales sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 (¿2), poco conocidas comparadas con otras pruebas como las demostraciones del teorema de Pitágoras, y que suponen una alternativa a la clásica demostración griega para captar el interés de los alumnos. Así, se describen tres demostraciones geométricas de la irracionalidad ¿2 más allá de la demostración aritmética habitual. La primera fue publicada por Tom Apostol, el autor del ibro de texto Calculus usado como bibliografía básica en cualquier curso universitario de Cálculo. La segunda, John Conway, se realiza plegando una hoja de papel. La tercera, de Barbara Turner, se basa en la siguiente propiedad de los cuadrados naturales: si un cuadrado natural S contiene un cuadrado natural más pequeño cuya área es exactamente la mitad de S, entonces dentro de S existe otro cuadrado natural con la misma propiedad. Las tres demostraciones geométricas tienen en común que todas ellas son demostraciones por reducción al absurdo, empleando el método del descenso infinito, y se reducen al mismo hecho algebraico. Se concluye con una demostración visual de que ¿2 es realmente un número natural.